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忽然想明白一个问题,暂时看不出原作是如何归

发布时间:2019-08-25 01:34编辑:科学浏览(168)

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    今日学院:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢₐ.

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    汉字在代数中或有妙用。

    (接前:211917) 命题5.5的温习.

    通过压缩凸显主线.

    (接前:222119) 命题5.5的温习接近结束.

    (接前:191714) 命题5.5的温习.

    叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

    (接前:090807)温习:命题5.7的证明.

    ---- 提前进入下一节.

    叙述ab; 证明Step1Step2abcStep3Step4Step5abStep6

    ---- 之前跳转到引理5.4.

    ---- 逻辑主线:取 |A| 中一般成员 H, 使|H在 xH附近 lc, 并以 TG作为 lc place, 且 a≤1. 则由归纳,TG在ν*L|G中的系数有上界,蕴含T在ν*L中的系数有上界.

    5.6 Bound on multiplicity at an lc place.

    ---- 之前跳回到引理5.4.

    ---- 引理给定三个对象 X, A, L,预构造 klt 配对.

    ---- 技术要点:1. 构造xH:=g[H∩C]; 2. 构造TG:=[G∩T], 其中 G 是 H 的像 .

    ---- “multiplicity” 指什么?

    ---- 今起进入其证明.

    ---- 但证明做的是找 lc threshold的正下界.

    ---- 前提条件:1. 假定 x 非闭, C 是 x 的闭包. 2. 设ν: U --> X 以 T 为 divisor.

    (原作此部分没有简介,直接进入命题).

    We use induction on d.

    (以下从X 开始,按逆时针顺序讲解).

    ---- 高观点:配对为 “方”,log resolution 为 “法”.

    ---- 主配置:projective,eps-lc.

    ---- 就维度 d 做归纳法.

    ---- X 是主集合,与 sL 配对成 lc 型.

    评论:“? 在 ? 中的系数有上界” 可缩写为 “?方”. 比如,TG方==>T方.

    ---- 副配置:Avery ample,Aᵈ≤r.

    Let s be the lc threshold o f L with respect to .

    ---- s 是 L 关于 的 lc theshold.

    加评:Step1 的逻辑主线可压缩为:吝。局盘,方。

    ---- 特加:Th1.6 对维度≤d-1 成立.

    ---- “lc threshold” 定义见于引言部分*:

    ---- T 是 lc place .

    Step2(格格。胄越相,通。)

    ---- 附加1:Λ≥0Q-divisor,nΛintegral.

    ----The lc threshold of an lR-Cartier lR-divisor L≥0 with respect to is defined as lct := sup{t | (X, B tL) is lc}.

    ---- C 是 T 的中心 .

    ---- 逻辑主线 1: ==> .

    ---- 附加2:L≥0lR-divisor.

    ---- 按此定义,s = s=sup{t | is lc}.

    ---- H 是 |A| 中的“一般”成员,并与C 相交.

    (文格 ==> 武格,可略为“格格”).

    ---- 附加3:A - B, A -Λ, A - Lample.

    We need to show s is bounded from below away from zero.

    ---- H 有特性“吝”: plt 但 (X, H sL) 非plt.

    注1:“相”之“方”包含两点:1. nΛ 整系数; 2. A xΛ <r.

    ---- 附加4:lc near x(not necessarily closed).

    ---- 简言之,就是要给 s 找个正的下界.

    (此处“吝”有“排斥”之意).

    (“直观”起见,用A xΛ 取代 degAΛ).

    ---- 附加5:Tlc placeof with centre theclosure of x.

    ---- 但看不出为何要这样做.

    ---- 若用 H 限制 即有 非 klt.

    注2:“甲” 即 very ample & non-negative. “胄” 指E.

    ---- 附加6:a≤1.

    (这句话给人以明显的突兀感).

    注:若 写成 |H会更直观.

    注3:下标s 提示 Supp 操作.下标sb 提示E = Supp:=sb.

    ---- 结果:对任意ν: U --> X, 存在 q>0 使得 μTν*L≤q.其中,T 是 U 上的 divisor.

    ---- s 是 lc threshod,意味着 是 lc 型.

    ---- “非 klt” 标识为 “啬”.

    (丞相戴头盔,傻逼了).

    U -->X B|Λ

    ---- 作为配对的边界, sL 的系数属于 (-oo, 1].

    (记住H的定义,再用“吝啬”二字概括两条结果).

    注4:“格”指有界族.

    注:按顺时针,王、侯、将、相.

    ---- lc 意味着 a = 1 - ??≥0.

    H 还有两个关键属性:

    (凡事达到“方”,就到头了).

    ---- 出现两个相,可能会用到复合形式.

    ---- ?? 表示任意素除子D在sL的回拉像内的系数.

    1. 降阶.AHᵈ⁻¹=Aᵈ.

    2. 保度. degAHLH = degAL.

    ---- 逻辑主线 2:Eω=Λw, 而 T 是 的 lc place.

    ---- 凡是出现 T,似乎都伴随a≤1.

    ---- 显然,此系数不超过 1.

    注:H 是下标. 带有H 下标的符号,称作“吝版”.

    ---- 技术要点:lc==>Λw≤E==> 0 = a≥a)≥0.

    ----nΛintegral似提示 n 是“整化因子”.

    If d = 1, then sL has at least one component with coefficient≥1, hence 1 ≤degsL≤sr which implies s≥1/r.

    ---- 引理的三个条件可做成吝版.

    (下标lc提示局部. 后半部推导可略为 “胄越相,通”).

    ---- 结果中的ν*L 令人称奇: U 到 X 的映射ν和 L 放在了一起?

    ---- 这里又出现符号“deg”,最早见于2.1*:

    ---- 于是就得到原结论的吝版: 存在 t>0 使得 是 klt 型.

    注5:由粉和紫公式得:sbω=Λw.

    Proof. Step1. Assume x is not a closed point and let C be its closure.

    ---- 所谓 D 相对于 A 的 degree 即 “intersection number”: degAD:=Aᵈ⁻¹D 或 degAD = deg D ,其中 degD 代表曲线除子的通常 “degree”.

    评论:原作采用了“反向归纳法”.

    注6:对比粉和蓝公式:Λw≤Eω=Λw.

    ---- 从一个单点出发,得其闭包.

    ---- 命题的条件有 degAL≤r.

    忽然想明白一个问题:为何 s > t ?

    评论:T 有“贯通性”或“穿越性”(作为 lc place).

    Take a general H∈|A|, and let BH= B|H, AH = A|H,ΛH=Λ|H, and LH= L|H.

    ---- 对于 d =1,写作 degL≤r.

    ---- s 是使得 成为 lc 的所有 t 的上确界.

    Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

    ---- 从 |A| 中取出“一般” H..

    ---- 对于 sL,原作得到degsL≤ sr.

    ---- 现在找到的 t>0 使得 成为 klt.

    Glossary

    Abstract8/4

    Introduction

    Boundedness of singular Fano varieties 8/5

    Boundedness of singular Fano varieties 8/6

    Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

    Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

    Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

    Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

    Jordan property of Cremona groups8/10

    Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

    Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

    Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

    Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

    Complements near a divisor8/15

    .Proposition 5.211/9

    Proposition 5.5. 11/5

    ---- 注意原作“加吝”的顺序:B, A, Λ, L.

    ---- sL 是 lc 型配对的边界,其系数不会超过1.

    ---- 意味着 此 t 不在 “所有 t ” 当中.

    (此顺序是否有特别的用意或原因?)

    ---- 但前半句指出,sL 至少有一分量系数≥1.

    ---- 但这还不足以推出 s > t.

    Take a resolutionν: U --> X on which T is a divisor and let G =ν*H.

    So we can assume d≥ 2.

    ---- 肯定与 klt 和 lc 的定义有关.

    ---- 取 X 到 U 的回拉式映射ν.

    ---- 刚才验证了d=1时的结论..

    klt: 对任意素除子 D,a = 1 -t·μDLw > 0.

    ---- 用ν*作用到 H 得到 G.

    Let T be an lc place of .

    lc:对任意素除子 D,a = 1 -t·μDLw≥0.

    Then is lc near the generic point of each component of H∩C...★

    ---- 引入一个特殊对象 lc place.

    从不等式角度看,达成 lc 的 t 集合要大一些.

    ---- 在 x 附近 lc .

    If T is not exceptional over X, then 1 = μTsL≤degAsL≤sr which again implies s≥1/r.

    ----即达成 klt 的 t 都包含在 上述集合之中.

    ---- 则 的“吝版” |H在H∩C的每个分量的 “generic point” 附近 lc.

    ---- 似乎运用了 lc place及non-exceptional 特性.

    ---- 由于 s 是该集合的上确界,则必然有 s > t.

    ---- 其实可以用ᵢ表示分量,用 hᵢ表示其 “generic point”.

    ---- 猜测:lc place ==>1 = μTsL.

    ---- 引理是说存在正的 t.

    ---- 则原句可表达为:|H在hᵢ附近 lc.

    (lc place 在边界上的投影系数为1).

    Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

    ---- 进一步,可将hᵢ看作 x 的吝版:

    ---- 猜测:non-exceptional ==>μTsL≤degAsL.

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    Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

    Complements near a divisor8/15

    Proposition 5.211/9

    Proposition 5.511/5

    ---- x ~> C ~>H∩C:=CH~>hᵢ:=xH.

    Thus assume T is exceptional over X.

    ----于是有:|H在xH附近 lc.

    ---- 考虑exceptional 情况.

    (即:局部 lc 是 “加吝不变” 的).

    Let C be the centre of T on X.

    ... and each component S of G∩T is an lc place of with a≤1.★

    ---- 引入 T 的中心 .

    ----G∩T的每个分量 S 是 |H的 lc place.

    Let H be general among the members of |A| intersecting C (if dimC > 0, then every general member of |A| intersects C).

    ----a≤1 可看作“附加6”的吝版.

    ---- 引入 |A| 的成员 H 与 C 相交.

    评论:以上第四句体现出某种“对仗”原则.

    Then H is irreducible and smooth, and is plt but (X, H sL) is not plt near H.

    ---- 在 x 附近 lc.

    ---- 则 H 不可约、光滑.

    ----|H在 xH附近 lc.

    ---- 后半句体现出 H 的特性,标识为“吝”.

    ---- 其中xH源于H∩C.

    This implies is not klt where LH= L|H[24, Theorem 5.50]. ★

    ---- T 是 的 lc place .

    ---- 可将 H 看作 X的子集.

    ---- C 是 T 在 X 上的中心.

    ---- 可看作 |H.

    ---- 恰好,|H的 lc place 源于 G∩T.

    ---- 简言之,若 H “吝”,则|H“啬”.

    ---- 对仗起见,G∩T 的分量 S 可改写为 TG.

    Let AH= A|H.

    对照: 在 x 附近 lc, T 是 的 lc place;

    ---- AH可称作 A 的 “吝版”.

    ..........|H在 xH附近 lc,TG是|H的 lc place.

    Then AHᵈ⁻¹= Aᵈ≤r and degAHLH= degAL≤r. ★

    加评:前三句做准备,第四句忽然抛出结论.

    ---- 吝版的幂 等于 原版的幂 降低一阶.

    ---- 可能这类作品只须给出证明的“梗概”.

    ----吝版的度 等于 原版的度.

    (至此,L 还没有出场...)

    ---- 内在逻辑待考

    So by induction, the coefficient of S inν*L|Gis bounded from above which implies the coefficient of T inν*L is bounded from above too.

    Thus applying induction, there is a positive number t depending only on d, r, such that is klt.

    ---- 暂时看不出原作是如何归纳的.

    ---- 利用归纳法,找到 t>0 使得 吝版的 klt (这种情况标识为“慷”).

    Thus from now on we can assume x is a closed point.

    Therefore, s > t.

    ---- x 为“非闭”的情形总能证明.

    ---- 之前有|H“啬”. 现又有|H“慷”.

    小结:命题5.7的证明,Step1 完结.

    ---- 该是这个对照 得出 s > t.

    Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

    (但目前只看到表皮,内在逻辑待考).

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    Proposition 5.211/9

    Proposition 5.511/5

    评论:命题是要找 t>0 使得 是 klt 型,但证明转化成了找 s 的下界..

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    .Proposition 5.211/9

    Proposition 5.5. 11/5

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